Beispiel - SAM - ETH Zürich

Beispiel 4.4.45 (Modifizierte Gleichung für RK-ESV und lineare ODE).
lineare ODE (→ Sect. 1.3.2):
ẏ = Ay,A ∈ R d,d
Numerische
Mathemtik
Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→ Def. 2.3.5) mit StabilitätsfunktionS(z)
Modifizierte ODE: ˜f h (y) = Ãy , Ã = 1 h
log(S(hA)) , (4.4.46)
für “hinreichend kleines”h > 0.
Hier:log ˆ= “Matrixlogarithmus”:
log(X) = ∞ ∑
k=1
(−1) k−1
k
(X−I) k für‖X−I‖ < 1
Beweis von (4.4.46) ( elementar unter Annahme, dass A diagonalisierbar:
T −1 AT = D = diag(µ 1 ,...,µ d )):
Bem. 3.1.13, (3.1.16) ⇒ Für RK-ESV y 1 = S(hA)y 0
∃T ∈ R d,d regulär:
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
(4.4.44)
=⇒ exp(Ãh) = S(hA) mit σ(hA)∩]−∞,0] = ∅ für kleinesh > 0 . ✸
4.4
p. 509