Beispiel - SAM - ETH Zürich

Π wird oft als die Menge der Pole vonf bezeichnet.
Numerische
Mathemtik
Definition 2.2.61 (Residuum einer komplexwertigen Funktion).
Ist f holomorph in einer punktierten Umgebung von p ∈ C, so ist das Residuum res p f von f
im Punktpder Koeffizienta −1 der Laurent-Entwicklung vonf inp.
Beweisskizze. (von Thm. 2.2.60)
Hat f in einer punktierten Umgebung von p ∈ C
Im
die konvergente Laurent-Enwicklung
f(z) =
∞∑
k=−∞
a k (z −p) k
so gilt für einen (hinreichend kleinen) Kreisγ ump
1
2πi
∫
γ
f(z)dz = a −1 .
p 1
D
p 2 p 3
p 4
Γ
Re
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Dann zerlege ∫ Γ wie in der Skizze angedeutet und
verwende den Cauchy-Integralsatz.
Fig. 64
2.2
p. 193