Beispiel - SAM - ETH Zürich

Uns interessiert:
min
z∈E ρ
|P n (z)| ➥
Gesucht: Konvergenzradius fürw ∈ E ρ
Numerische
Mathemtik
Lemma 2.2.80 ⇒ R = min{dist(0,ζ),dist(0,ζ −1 )} ,
dennζ,ζ −1 sind die beiden Nullstellen vonz ↦→ z 2 −2wz +1 fürw = 1 2 (ζ +ζ−1 ), vgl. (2.2.73).
ζ = ρexp(iϕ) , ρ > 1 ⇒ R = ρ −1 .
Annahme. Existenz des Limes: limsup
n→∞ |P n(w)| 1/n = lim
n→∞ |P n(w)| 1/n
Damit aus (2.2.72):
∀ǫ > 0: ∃N = N(ǫ) ∈ N:
(
|P n (w)| 1/n > ρ−ǫ ⇔ |P n (w)| > (ρ−ǫ) n) ∀n > N(ǫ) .
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.2
p. 207