Beispiel - SAM - ETH Zürich

Hamiltonsches System in der Form (1.1.1):
( p
y = ⇒ (1.2.21) ⇔ ẏ = J
q)
−1·gradH(y) , J :=
✎ Notation: I n ˆ=n×n Einheitsmatrix
( ) 0 In
−I n 0
∈ R 2n,2n . (1.2.24)
Numerische
Mathemtik
Zusammen mit (1.2.8) folgt sofort Lemma 1.2.23, denn J ist schiefsymmetrisch (J T = −J) und für
jede schiefsymmetrische MatrixA ∈ R n,n giltx·Ax = 0 ∀x ∈ R n .
Beispiel 1.2.25 (Massenpunkt im Zentralfeld).
Newtonsche Bewegungsgleichungen eines Körpers (Ortskoordinate r = r(t)) mit Masse m > 0 im
Kraftfeld f : R n ↦→ R n ,n ∈ N:
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Spezialfall:
radialsymmetrisches konservatives Kraftfeld
m¨r(t) = f(r(t)) . (1.2.26)
f(x) = −gradU(x) , x ∈ R n , U(x) = G(‖x‖) . (1.2.27)
√
✎ Notation: ‖x‖ := x 2 1 +···+x2 n ˆ= Euklidische Norm eines Vektors
Speziell G(r) = − G 0
r
:
Keplerproblem: [16, Sect. I.2], [8, Sect. 1.1]
1.2
p. 40