Beispiel - SAM - ETH Zürich

In Beispiel 2.2.83 konnten wir uns für die Bestimmung des Analytizitätsgebiets auf die explizit
gegebene Lösung des AWP stützen, um die exponentielle Konvergenz des globalen Gauss-
Kollokationsverfahrens zu bestätigen.
Numerische
Mathemtik
Im Allgemeinen fehlt diese Information. Dennoch sind Aussagen über das Analytizitätsgebiet der
Lösungen von AWP für Differentialgleichungen in C mit lokal holomorpher rechter Seite möglich:
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Theorem 2.2.85 (Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Dgl. in C). → [32, Kap. I, §8]
Ist f : D ⊂ C ↦→ C in einer Umgebung B ρ (z 0 ) := {z ∈ C : |z − z 0 | < ρ} ⊂ D von
z 0 ∈ D holomorph und|f(z)| ≤ M für allez ∈ B ρ (z 0 ), dann existiert genau eine aufB ρ/M (0)
holomorphe Lösungy des Anfangswertproblems
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R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
y ′ (z) = f(y(z)) ∀z ∈ B ρ/M (0) , y(0) = z 0 .
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Notation:
′ ˆ= komplexe Differentiation
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Wenn f(z) ∈ R für z ∈ R und y 0 ∈ R dann stimmt die vom Theorem postulierte lokal holomorphe
Lösung des komplexen AWP für reelle Argumente natürlich mit der Lösung gemäss Theorem 1.3.4
überein.
2.3
p. 221