Beispiel - SAM - ETH Zürich

✎ Notation: ∇ 2 H ˆ= (symmetrische) Hesse-Matrix der Hamilton-FunktionH.
Numerische
Mathemtik
Mit Produktregel, daJ T = −J,J −T = −J −1 = J:
d
dt
(
W(t;y) T )
JW(t;y)
= Ẇ(t;y)T JW(t;y)+W(t;y) T JẆ(t;y)
= W(t;y) T ∇ 2 H(y)J −T J
} {{ }
=−I
DaW(0;y) = I ⇒ W(t;y) T JW(t;y) = J ∀t
W(t;y)+W(t;y) T JJ
} {{ −1
}
∇ 2 H(y)W(t;y) = 0 .
=I
✷
Definition 4.4.12 (Symplektische Abbildung).
EineC 1 -AbbildungΦ : D ⊂ R 2n ↦→ R 2n heisst symplektisch, falls
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
DΦ(y) T JDΦ(y) = J ⇔ ω ( )
DΦ(y)v,DΦ(y)w
= ω(v,w) ∀v,w ∈ R
2n , ∀y ∈ D .
} {{ } } {{ }
(Φ ∗ v)(y) (Φ ∗ w)(y)
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✧
Thm. 4.4.11: Die Evolution zu einer Hamiltonschen Differentialgleichung
ist symplektisch zu jedem Zeitpunkt.
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4.4
p. 478