Beispiel - SAM - ETH Zürich

Inkrementgleichungen für implizites RW-ESV (→ Def. 2.3.5) = (i.a. nichtlineares) Gleichungssystem
mits·d Unbekannten
Numerische
Mathemtik
Im autonomen Fall (vgl. Beweis von Lemma 2.2.7)
k i := f(y 0 +h
s∑
a ij k j )
j=1
k i =f(y 0 +g i )
⇐⇒
g i = h
s∑
a ij f(y 0 +g j ) , i = 1,...,s . (2.3.20)
Die Grössen g i + y 0 heissen auch Stufen (engl. stages) des Runge-Kutta-Verfahrens, siehe
Bem. 2.3.7. Daher heisst die Formulierung der Inkrementgleichungen mit Hilfe der g i wie in (2.3.20)
auch deren Stufenform.
j=1
➣ iterative Lösung mit vereinfachtem Newton-Verfahren („eingefrorene” Jacobi-Matrix)
! Effizienz: Minimiere Anzahl vonf,Df-Auswertungen
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Mit g = (g 1 ,...,g s ) T ∈ R s·d definiere
⎛
h s ⎞
∑
a 1j f(y 0 +g j )
j=1
F(g) := g−
.
⎜
⎝ ∑
h s ⎟
a sj f(y 0 +g j )
⎠
j=1
⇒ {(2.3.20) ⇔ F(g) = 0} . (2.3.21)
2.3
p. 235