Beispiel - SAM - ETH Zürich

y h (t) ∈ P s ˆ= Gauss-Kollokationspolynom zum Anfangswerty 0 (t 0 = 0):
Numerische
Mathemtik
ẏ h (c i h) = f(y h (c i h)) , h ˆ= Schrittweite, vgl. (2.2.1) . (4.1.5)
Quadratische Invariante:
I(y) = 1 2 yT My+b T y+c mitM = M T ∈ R d,d ,b ∈ R d ,c ∈ R
d(τ) := I(y h (τh)) ist Polynom vom Grad ≤ 2s .
Das-Punkt Gauss-Quadraturformel exakt für Polynome vom Grad≤ 2s−1 undd ′ ∈ P 2s−1
d(1) = d(0)+
∫ 1
Aus Kollokationsbedingungen (4.1.5) und (1.2.8)
0
d ′ (τ)dτ = d(0)+
s∑
b i d ′ (c i )
i=1
} {{ }
d ′ (τ) = hgradI(y h (τh))·ẏ h (τh) ⇒ d ′ (c i ) = hgradI(y h (c i h))·f(y h (c i h))
} {{ }
=0
Dad(0) = I(y 0 ),d(1) = I(y 1 ) folgt die Behauptung.
Ziel
!
=0
.
= 0 .
✷
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
4.1
p. 440