Beispiel - SAM - ETH Zürich

Wie reagiert ein Runge-Kutta -ESV auf einen Basiswechsel im Zustandsraum (→ Sect. 1.3.2,
(1.3.12))?
Numerische
Mathemtik
FürS ∈ R d,d regulär,ŷ := S −1 y Ψ, ̂Ψ aus RK-Verfahren (→ Def. 2.3.5)
Ψ s,t
h
= Diskrete Evolution zu ẏ = f(t,y) ,
̂Ψ s,t
h = Diskrete Evolution zu ˙ŷ = ̂f(t,ŷ) → (1.3.12)
ŜΨ s,t
h S −1 y = Ψ s,t
h y .
(2.3.14)
Dazu zeigt man, dass die Inkremente k i und transformierten Inkremente Ŝk i S −1 eines Runge-
Kutta-ESV angewandt auf die ODEs ẏ = f(t,y), bzw. ˙ŷ = ̂f(t,ŷ) = S −1 f(t,Sŷ) die gleichen
Gleichungen erfüllen. Wegen deren eindeutiger Lösbarkeit für hinreichend kleines h > 0 folgt k i =
Ŝk i S −1 ,i = 1,...,s.
Die obige Aussage lässt sich auch durch ein kommutierendes Diagramm ausdrücken
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
ẏ = f(t,y)
⏐
↓
RK-ESV
Basistransformation ŷ:=S −1 y
−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ ˙ŷ =̂f(t,ŷ)
⏐
⏐
↓RK-ESV
(y k ) k
Basistransformation ŷ k :=S −1 y k
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ (ŷ k ) k .
☞ Affin-Kovarianz drückt die Erhaltung einer einfachen algebraischen Struktur der Lösungsmenge
eines AWP aus.
2.3
p. 231