Beispiel - SAM - ETH Zürich

Beweis.
Für den Konsistenzfehler (→ Def. 2.1.11) haben wir nach Def. 2.1.13 zu zeigen (wir betrachten
autonome ODEs!)
∥
‖τ(t,y,h)‖ = ∥Φ h y−Ψ h y∥ =
Der Beweis wird hier für das Strang-Splitting geführt.
{
O(h 2 ) fürΨ aus (2.5.2) ,
O(h 3 ) fürΨ aus (2.5.3) .
Numerische
Mathemtik
Übliche Annahme:
f,ghinreichend glatt.
Technik:
Taylorentwicklung
Taylorentwicklung der exakten Evolution nachh, vgl. (2.3.25):
Φ h y =y+ẏ(0)h+ 1 2ÿ(0)h2 +O(h 3 )
=y+h(f(y)+g(y))+ 1 2 h2 (Df(y)+Dg(y))(f(y)+g(y))+O(h 3 ) .
(2.5.6)
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Taylorentwicklung der partiellen EvolutionenΦ h f ,Φh g
nachh, vgl. (2.3.25)
Φ h f y = y+hf(y)+ 1 2 h2 Df(y)f(y)+O(h 3 ) , (2.5.7)
Φ h gy = y+hg(y)+ 1 2 h2 Dg(y)g(y)+O(h 3 ) . (2.5.8)
Sukzessives Einsetzen von Taylorentwicklungen, wobei multiplikative Faktoren h k ein frühzeitiges
Abbrechen der eingesetzen Taylorentwickung ermöglichen, vgl. die Taylorentwicklung der Runge-
2.5
p. 281