Beispiel - SAM - ETH Zürich

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Lemma 3.1.9 (Rationale Approximation der Exponentialfunktion).
IstS(z) = P(z)
Q(z) ,P,Q ∈ P s,s ∈ N, so gilt
Numerische
Mathemtik
S(z)−exp(z) = O(|z| m ) fürz → 0 ⇒ m ≤ 2s+1 .
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Beweis: (→ [8, Lemma 6.4], doch der dortige Beweis ist falsch!)
Indirekte Beweisführung, Annahme S(z)−exp(z) = O(|z| 2s+2 ) fürz → 0:
Ansatz:
P(z) = p 0 +p 1 z +···+p s z s ,
Q(z) = q 0 +q 1 z +···+q s z s , q 0 = 1, da O.B.d.AQ(0) = 1 .
Q(z)exp(z)−P(z) = α 2s+2 z 2s+2 +α 2s+3 z 2s+3 +... (global konvergente Potenzreihe) .
Einsetzen der Exponentialreihe und Multiplikation, dann Koeffizientenvergleich ➢ lineares Gleichungssystem
s∑
j=0
q j
1
(i−j)! = 0 , i = s+1,...,2s+1 .
s∑
j=0
q j
1
(i−j)! −p i = 0 , i = 0,...,s .
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
3.1
p. 329