Beispiel - SAM - ETH Zürich

Der Beweis verwendet folgendes Hilfsresultat ([8, Lemma 4.38]):
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Numerische
Mathemtik
Lemma 2.1.30 (Störungslemma für diskrete Evolutionen).
Seif zweimal stetig differenzierbar undΨeine zur ODEẏ = f(t,y) konsistente (→ Def. 2.1.8)
diskrete Evolution, stetig differenzierbar in h und y. Dann gilt für (t,y) ∈ Ω und hinreichend
kleinez ∈ R d
Ψ t,t+h (y+z) = Ψ t,t+h y+z+h ∂f
∂y (t,y)z+r(h,z) , ‖r(h,z)‖ ≤ C(h2 ‖z‖+h‖z‖ 2 ) ,
mitC > 0 unabhängig vonhundz.
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R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
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Thm. 2.1.29 erklärt in Bsp. 1.4.21 beoachtete O(h 2 )-Kovergenz der impliziten Mittelpunktsregel.
2.2
p. 143