Beispiel - SAM - ETH Zürich

➄ (2.1.22) &△-Ungleichung
⇒ Rekursion für Fehlernorm:
‖e k+1 ‖ ≤ ‖e k ‖+‖τ(t k ,y(t k ),h k )‖+h k ‖ψ(t k ,y(t k ),h k )−ψ(t k ,y k ,h k )‖
(2.1.24)
≤ ‖e k ‖+‖τ(t k ,y(t k ),h k )‖+h k L‖y(t k )−y k ‖
(2.1.23)
≤ Ch p+1
k
+(1+Lh k )‖e k ‖ .
Anwendung des diskreten Gronwall-Lemmas mitξ k := ‖e k ‖,ξ 0 = 0:
Lemma 2.1.20 ⇒ ‖e k ‖ ≤ Ch p exp(L(T −t 0 ))−1
G
.
L
➅ Die Abschätzung zeigt, dass y k −y(t k ) → 0 für h G → 0. Damit kann durch Induktion bewiesen
werden
∀δ > 0: ∃h ∗ = h ∗ (δ) > 0: h G < h ∗ ⇒ (t k ,y k ) ∈ K δ ∀k .
Damit ist Annahme A1 gerechtfertigt.
✷
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Beachte: Der Beweis benutzt nur den Konsistenzfehler entlang der Lösungstrajektorieτ(t,y(t),h).
Man kann also die Voraussetzung der Konsistenzordung p (→ Def. 2.1.13) schwächer
formulieren als
‖τ(t,y(t),h)‖ ≤ C c h p+1 ∀t ∈ [t 0 ,T] , fürh hinreichend klein.
2.1
p. 136