Beispiel - SAM - ETH Zürich

„Beweis” (von Lemma 2.2.7, unter stärkeren Glattheitsvoraussetzungen, hier nur ausgeführt für
autonomen Fallẏ = f(y))
Numerische
Mathemtik
Annahme:
f ist stetig differenzierbar aufΩ
⎛
∑
f(y 0 +h s
s∑
k i = f(y 0 +h a ij k j ) ⇔ G(h,k) = 0 , G(h,k) := k−
.
⎜
j=1
⎝ ∑
f(y 0 +h s
j=1
j=1
⎞
a 1j k j )
⎟
a sj k j )
⎠
,
mit k = (k 1 ,...,k s ) T ∈ R s·d .
Idee: Anwendung des Satzes über implizite Funktionen aufG : R×D ↦→ D
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
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Theorem 2.2.8 (Satz über implizite Funktionen).
→ Analysis-Vorlesung
SeienI ⊂ R q ,U ⊂ R n offen undG = G(ξ,y) : I ×U ↦→ R n sei stetig differenzierbar. Für ein
(ξ 0 ,y 0 ) ∈ I ×U gelteG(ξ,y) = 0.
Ist die Jacobi-Matrix ∂G
∂y (ξ 0,y 0 ) invertierbar, dann gibt es eine Umgebung V ⊂ I von ξ 0 und
eine eindeutige stetig differenzierbare Funktionξ ↦→ z(ξ) so, dass
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2.2
p. 149