Beispiel - SAM - ETH Zürich

Nächster Schritt:
Bestimme Koeffizientena ij ,d ij in (3.6.7) (undb i ), so dass sie Ordnungsbedingungsgleichungen
genügen
(analog zur Konstruktion von Runge-Kutta-Verfahren in Sect. 2.3)
Numerische
Mathemtik
Linear-implizite Runge-Kutta-Verfahren (Rosenbrock-Wanner(ROW)-Methoden)
Beispiel 3.6.10 (Bedingungsgleichungen für Linear-implizite Runge-Kutta-Verfahren 2. Ordnung).
Aus der Neumannschen Reihe für Matrizen: fürh > 0 “hinreichend klein”
∞∑
(I−ha ii J) −1 = (ha ii J) k = I+ha ii J+O(h 2 ) . (3.6.11)
k=0
Einsetzen in (3.6.7) + Taylor-Entwicklung vonf umy 0 + rekursives Einsetzen, vgl. Bsp. 2.3.24:
(
k i = I+ha ii J+O(h 2 )) ⎛ ⎞
∑i−1
⎝f(y 0 )+hJ (a ij +d ij )k j +O(h 2 ∑i−1
)−hJ d ij k j
⎠
= f(y 0 )+ha ii Jf(y 0 )+hJf(y 0 ) (i−1 ∑
j=1
j=1
a ij
) +O(h 2 ) .
j=1
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
3.6
p. 393