Beispiel - SAM - ETH Zürich

2.1.2 Konsistenz [8, Sect. 4.1.1]
Numerische
Mathemtik
Kontinuierliche Evolution (→ Def. 1.3.7)
Φ s,t
←→
Diskrete Evolution
Ψ s,t
erfüllt für alle(t,y) ∈ Ω
(i)Φ t,t y = y
(ii) d ds Φt,t+s y
∣ = f(t,y)
s=0
(iii)Φ r,s Φ t,r y = Φ t,s y ∀r,s ∈ J(t,y)
Unter der Annahme, dasst ↦→ Ψ s,t y differenzierbar:
d
dt
✗
✖
(
Ψ s,t )
y
= lim
τ→0
Ψ s,t+τ y−Ψ s,t y
τ
sollte erfüllen:
(i)Ψ t,t y = y klar!
d
ds Ψt,t+s y
∣ = f(t,y) unbedingt!
s=0
(ii)
(iii)Ψ r,s Ψ t,r y = Ψ t,s y ∀r,s ∈ J(t,y) utopisch!
FallsΨ(i)–(iii) erfüllt, dann giltΨ = Φ !
(iii)
= lim
τ→0
Ψ t,t+τ (Ψ s,t y)−Ψ t,t (Ψ s,t y)
τ
✔
✕
(ii)
= f(t,Ψ s,t y) .
t ↦→ Ψ s,t löst das gleiche Anfangswertproblem für ẏ = f(t,y) wie t ↦→ Φ s,t y. Mit Satz von Picard-
Lindelöf (→ Thm. 1.3.4) folgtΨ = Φ.
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.1
p. 124