Beispiel - SAM - ETH Zürich

Verwende nun
M = M T ⇒ (I−JM) T (I+JM) −T J(I+VJM) −1 (I−JM) = J . (4.4.21)
Numerische
Mathemtik
Störmer-Verlet-Verfahren (2.5.13) fürH(p,q) = T(p)+U(q):
⎧
⎪⎨ p 1/2 = p 0 −
2 1hgradU(q 0) ,
q 1 = q 0 +hgradT(p 1/2 ) ,
⎪⎩
p 1 = p 1/2 − 1 2 hgradU(q 1) .
(4.4.22)
Strang-Splittingverfahren (Bem. 1.4.33): diskrete EvolutionΨ h zu (4.4.22) erfüllt
wobeiΦ t T ,Φt U
Ψ h = Φ h /2
U ◦Φh T ◦Φh /2
U ,
R. Hiptmair
exakte Evolutionsoperatoren zu Hamiltonschen ODE
rev 35327,
25. April
{ṗ 2011
= 0 ,
→ Hamilton-FunktionH(p,q) = T(p) ,
˙q = gradT(p)
→ Hamilton-FunktionH(p,q) = U(q) .
4.4
implizte Mittelpunktsregel/Störmer-Verlet-Verfahren = symplektische Integratoren
△
Φ t T ↔
Φ t U ↔ {ṗ = −gradU(q) ,
˙q = 0 .
Korollar 4.4.13 ⇒ Ψ h is symplektische Abbildung (→ Def. 4.4.12).
Terminologie:
p. 485