Beispiel - SAM - ETH Zürich

Ansatz:
y(t) = exp(At)z(t) mitz ∈ C 1 (R,R d ) → [1, Thm I(5.14)]
ẏ(t) = Aexp(At)z(t)+exp(At)ż(t) = Ay(t)+g(t) = Aexp(At)z(t)+g(t)
ż(t) = exp(−At)g(t) ⇒ z(t) = y 0 +
∫ t
t 0
exp(−Aτ)g(τ)dτ
y(t) = exp(A(t−t 0 ))y 0 + ∫ t
t0
exp(A(t−τ))g(τ)dτ =: Φ t 0,t y 0 .
Numerische
Mathemtik
Lsg. des homogenen Problems
Faltung mit Inhomogenität
Allgemeinere Betrachtungen
→ [1, Kap. III]:
Bemerkung 1.3.16 (Allgemeine Variation-der-Konstanten-Formel). → [1, Thm. (11.13)]
A : J ⊂ R ↦→ R d,d stetige Matrixfunktion,J ⊂ R Intervall
g : J ↦→ R d stetig
(s,t) ↦→ E(s,t) ∈ R d,d beschreibt Evolutionsoperator, definiert durch
∂E
(s,t) = A(t)E(s,t) ∀(s,t) ∈ J ×J , E(s,s) = I .
∂t (1.3.17)
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
1.3
p. 55