Beispiel - SAM - ETH Zürich

Numerische
Mathemtik
Betrachte eine mit Hilfe der AbbildungΠ : D ⊂ R d ↦→ R d rekursiv definierte Folge y k+1 = Π(y k ).
(Man sagt auch, dass Π ein diskretes dynamisches System definiert. Offensichtlich stellen alle Einschrittverfahren
diskrete dynamische Systeme dar.)
Klar:y ∗ ∈ D heisst Fixpunkt des diskreten dynamischen Systems, fallsΠ(y ∗ ) = y ∗ .
Auch klar: Definition der asymptotischen Stabilität eines Fixpunkts eines diskreten dynamischen Systems
analog zu Def. 3.2.2
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
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Theorem 3.2.12 (Asymptotische Stabilität von Fixpunkten diskreter dynamischer Systeme).
SeiΠ : D ⊂ R d ↦→ R d stetig differenzierbar undΠ(y ∗ ) = y ∗ für einy ∗ ∈ D. Dann gilt
ρ(DΠ(y ∗ )) < 1 ⇒ y ∗ ist asymptotisch stabiler Fixpunkt von y k+1 := Π(y k ) .
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✎ Notation: ρ(A) := max{|λ| : λ ∈ σ(A)} ˆ= Spektralradius einer Matrix
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3.2
p. 347