Beispiel - SAM - ETH Zürich

Beweis. (basierend auf Lemma 4.2.2, vgl. [16, Lemma 9.1])
Numerische
Mathemtik
SeiΦ : ˜Ω ↦→ D der Evolutionsoperator zur autonomen ODEẏ = f(y).
Jacobi-Matrix (Propagationsmatrix)
(1.3.34)
W(t,y) = D y Φ t (y), y ∈ D, erfüllt die Variationsgleichung
Ẇ(t,y) := d dt W(t,y) = Df(Φt y)W(t,y) , t ∈ J(y) , W(0,y) = I . (4.2.4)
Wie im Beweis zu Thm. 4.1.10, aus Lemma 4.1.11, vgl. (4.1.12):
“⇒” aus (4.2.5), dadetW(0,y) = 1
d
dt detW(t,y) =detW(t,y)trace(Ẇ(t,y)W−1 (t,y))
(??)
= detW(t,y)trace(Df(Φ t y))
=detW(t,y)divf(Φ t y) .
(4.2.5)
Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
“⇐”: Wenndivf ≠ 0, dann gibt esδ > 0, V ⊂ D so dass|divf(y)| > δ für alle y ∈ V . Daher, für
y ∈ V ,
d
dt
detW(t,y) ≥ δdetW(t,y) oder
d
dt
detW(t,y) ≤ −δdetW(t,y) .
R.
4.2
p. 448