Beispiel - SAM - ETH Zürich

Vorbereitung:
Basiswechsel im Zustandsraum (kovariante Transformation):
ŷ = S −1 y , S ∈ R d,d reguläre Matrix (zeitunabhängig).
Numerische
Mathemtik
y löst
{ẏ = f(t,y) ,
y(t 0 ) = y 0
⇔ ŷ := S −1 y löst
{
˙ŷ =̂f(t,ŷ) ,
ŷ(t 0 ) = S −1 y 0
mit̂f(t,ŷ) = S −1 f(t,Sŷ) .
(1.3.12)
Betrachte Lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten im R d :
D = R d ,Ω = I ×R d
Koeffizientenmatrix A ∈ R d,d
ẏ = Ay+g(t) . (1.3.13)
„Quellterm”: stetige Funktiong : I ↦→ R d
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Annahme:
A diagonalisierbar,∃S ∈ R d,d regulär:S −1 AS = diag(λ 1 ,...,λ d ),λ i ∈ C
•g ≡ 0: ẏ = Ay (autonome homogene lineare Dgl., allgemeinere Diskussion [8, Sect. 3.2.2])
ŷ := S −1 y löst
˙ŷ 1 = λ 1 ŷ 1 ,
. ⇒ ŷ i (t) = (S −1 y 0 ) i e λit , t ∈ R .
˙ŷ d = λ d ŷ d
1.3
p. 53