Beispiel - SAM - ETH Zürich

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Theorem 3.4.8 (Radau-ESV nichtexpansiv).
Die diskreten Evolutionen zu Radau-ESV erben die Nichtexpansivität der (exakten) Evolution.
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Numerische
Mathemtik
Beweis. Erweiterung des Beweises zu Thm. 3.3.7. Mit den dortigen Notationen und Fehlerdarstellungsformel
für Gauss-Radau-Quadraturformeln
∫ 1
0
d ′ (τ)dτ =
s∑
b j d ′ (c j )−R mit R = c(s)d (2s) (ξ) , 0 ≤ ξ ≤ 1 ,
j=1
wobeic(s) > 0. Formeln (3.3.10) und (3.3.11) bleiben gültig, so dass die Behauptung von Thm. 3.4.8
gezeigt ist, sobaldR ≥ 0 sichergestellt ist:
d(τ) =
2s ∑
j=0
d(τ) ≥ 0 ⇒
δ j τ j ⇒ d (2s) (τ) = (2s)!δ 2s ,
lim d(τ) ≥ 0 ⇒ δ 2s ≥ 0 .
|τ|→∞
Beachte: Auch die Gewichte von Gauss-Radau-Quadraturformeln sind positiv, siehe Fig. 122.
Radau-ESV sind A-stabil (→ Def. 3.2.16)
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R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
3.5
p. 374