Beispiel - SAM - ETH Zürich

Geniale Idee: Abschätzung von ∫ h
0 W(t;y 0 )W(τ;y 0 ) −1 δ(τ)dτ als Quadraturfehler !
Wegenδ(c i h) = 0 (Kollokationsbedingung (2.2.1) !):
s∑
b i W(t;y 0 )W(c i h;y 0 ) −1 δ(c i τ)
} {{ }
i=1
=0
} {{ }
Quadraturformel auf[0,h] fürτ↦→W(t;y 0 )W(τ;y 0 ) −1 δ(τ)
➣ Mit der Quadraturfehlerabschätzung aus Lemma 2.2.53
∫h
s∑
W(t;y 0 )W(τ;y 0 ) −1 δ(τ)dτ −
∥0
i=1
mit
C 3 := 1 p!
max
0≤τ≤h
= 0 ∀0 ≤ t ≤ h .
b i W(t;y 0 )W(c i h;y 0 ) −1 δ(c i τ)
≤ C 3 h p+1 ,
∥
d p {
∥dτ p τ ↦→ W(h;y 0 )W(τ;y 0 ) −1 δ(τ)} ∥ ∥∥ .
δ(t) := ẏ h (t)−f(y h (t)) hängt natürlich im Gegensatz zuW(t;y) vonhab, doch dank der Schranken
aus (2.2.48) sind alle Ableitungen von y h gleichmässig in h beschränkt !. Also lässt sich auch
C 3 unabhängig vonhbeschränken.
∫h
∥0
W(h;y 0 )W(τ;y 0 ) −1 δ(τ)dτ
≤ Ch p+1 .
∥
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.2
p. 184