Beispiel - SAM - ETH Zürich

Beweis von Thm. 4.1.10 (Widerspruchsbeweis)
Numerische
Mathemtik
t ↦→ Y(t) löse lineare Matrix-Differentialgleichung Ẏ = AY, A ∈ R d
Mit Lemma 4.1.11 folgt fürI(Y) = detY
D Y I(Y)H = detY·trace(Y −1 H) ⇒ d dt detY(t) = Ytrace(ẎY−1 ) = Ytrace(A) .
(4.1.12)
⇒ ★
Falls trace(A) = 0 ist I(Y) := detY eine polynomiale Invariante vom Grad d der
Matrix-DifferentialgleichungẎ = AY.
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R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
Annahme: RK-ESV erhält Polynomiale Invarianten vom Grad d > 2. Wende das Verfahren an auf
Ẏ = AY,trace(A) = 0,A ∈ R d,d . Nach Bem. 3.1.13, (3.1.16)
Y 1 = S(hA)Y 0 mit StabilitätsfunktionS(z) , h > 0 .
detY 1 = detY 0 ∀Y 0 ⇒ detS(hA) = 1
Wähle spezielle (diagonale !) Matrix mittrace(A) = 0 und Zeitschrittweiteh = 1
A = diag(µ,ν,−(µ+ν),0,...,0) ∈ R d,d , µ,ν ∈ R .
4.1
p. 445