Beispiel - SAM - ETH Zürich

✎ Übliche Notation für Koeffizientenmatrix A := ( a ij
) s
i,j=1 ∈ Rs,s
Numerische
Mathemtik
✎ Zeilensummennorm ‖A‖ ∞ := max
i=1,...,s
s∑
j=1
Beweis. (von Lemma 2.2.7 für autonomen Fallẏ = f(y))
|a ij | (ˆ= Matrixnorm zur Maximumnorm)
Vorbereitung: Wie im Beweis von Thm. 2.1.19 betrachten wir f wieder auf einer kompakten Umgebung
K δ der L¨soungskurve t ↦→ y(t) im erweiterten Phasenraum Ω. Daher (zunächst) ohne
Beschränkung der Allgemeinheit die Annahme:
f global Lipschitz-stetig, vgl. Def. 1.3.2:
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
∃L > 0: ‖f(z)−f(w)‖ ≤ L‖z−w‖ ∀z,w ∈ D . (2.2.10)
Wir nehmen auch an, dass sich einer-Umgebung vony 0 inD befindet:
∃r > 0: ‖z−y 0 ‖ ≤ r ⇒ z ∈ D .
Idee: Anwendung des Banachschen Fixpunktsatzes Thm. 2.2.9 auf die (äquivalenten) Inkrementgleichungen
(2.2.6) für dieg i : mit g := (g 1 ,...,g s ) ∈ R s·d
2.2
p. 151