Beispiel - SAM - ETH Zürich

Zusammen mit Thm. 2.2.30 gibt dies eine Schranke O(h s+1 ) für den Einschrittfehler (= Konsistenzfehler).
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Numerische
Mathemtik
“Direkter” Beweis von Lemma 2.2.36. (für autonome Dgl.ẏ = f(y),t 0 = 0)
t ↦→ y(t) ˆ= exakte Lösung für AWPẏ = f(y),y(0) = y 0
t ↦→ y h (t), 0 ≤ t ≤ h, polynomiale approximative Lösung aus einem Schritt des Kollokationsverfahrens,y
h (0) = y 0 .
(Annahme: h hinreichend klein, siehe Lemma 2.2.7,h ∈ J(y 0 ))
Wiederum vereinfachende Annahme:
f global Lipschitz-stetig
∃L > 0: ‖f(z)−f(w)‖ ≤ L‖z−w‖ ∀z,w ∈ D . (2.2.39)
Zur Konsistenzuntersuchung betrachte die Einschrittfehlerfunktion
Aus den Kollokationsbedingungen (2.2.1):
s∑
e(t) := y(t)−y h (t) ➣ τ(y 0 ,h) = e(h) . (2.2.40)
ẏ h (t) =
i=1
f(y h (c i h))·L i (τ) , τ := t h .
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
(2.2.41)
2.2
p. 175