Beispiel - SAM - ETH Zürich

y
y h (t 1 ) y(t)
t
t 0 t 1
y 0
Fig. 33
Idee: Approximiere Lösung durch (t 0 ,y 0 ) auf
[t 0 ,t 1 ] durch
• Strecke duch(t 0 ,y 0 )
• mit Steigungf(t 1 ,y 1 )
✁ — ˆ= Lösungkurve durch(t 0 ,y 0 ),
— ˆ= Lösungkurve durch(t 1 ,y 1 ),
— ˆ= Tangente an — in(t 1 ,y 1 ).
Numerische
Mathemtik
Anwendung auf kleine Zeitintervalle [t 0 ,t 1 ],[t 1 ,t 2 ],...,[t N−1 ,t N ] ➤ implizites Euler-Verfahren
durch implizites Eulerverfahren erzeugte Näherung füry(t k ) erfüllt
y k+1 := y h (t k+1 ) = y h (t k )+h k f(t k+1 ,y k+1 ) , k = 0,...,N −1 , (1.4.13)
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
mit lokaler (Zeit)schrittweite h k := t k+1 −t k .
Beachte: (1.4.13) erfordert Auflösen einer (evtl. nichtlinearen) Gleichung nachy k+1 !
(➤ Terminologie „implizit”)
1.4
p. 86