Beispiel - SAM - ETH Zürich

(1.2.8): I ist erstes Integral vonẏ = f(y) ⇔ gradI(y)·f(y) = 0 für alley ∈ D.
Numerische
Mathemtik
lineares erstes Integral : I(y) = b T y+c mitb ∈ R d ,c ∈ R
quadratisches erstes Integral : I(y) = 1 2 yT My+b T y+c mitM ∈ R d,d ,b ∈ R d ,c ∈ R
Definition 4.1.1 (Polynomiale Invarianten).
Ein erstes IntegralI(y) ist polynomial vom Gradn,n ∈ N, wenn
∑
I(y) = β α y α , β α ∈ R (Multivariates Polynom) .
α∈N d 0 ,|α|≤n
✎ Multiindexnotation: α = (α 1 ,...,α d ) ∈ N d 0 ,|α| = ∑ i α i,y α := y α 1
1 ·······yα d
d
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
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Theorem 4.1.2 (Erhaltung linearer Invarianten).
Alle Runge-Kutta-Einschrittverfahren (→ Def. 2.3.5) erhalten lineare erste Integrale.
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4.1
p. 435