Beispiel - SAM - ETH Zürich

Linearisierung, siehe Bem. 1.3.19:
f(y) = Df(0)y+r(y) , ‖r(y)‖ = o(‖y‖) füry → 0 .
y(t) ˆ= Lösung des AWP zu Anfangswert y 0 , t ∈ J(y 0 ). Variation-der-Konstanten-Formel, siehe
Sect. 1.3.2:
∫ t
y(t) = exp(Df(0)t)y 0 +
0
Mit Hilfe der Jordan-Normalform, siehe oben:
exp(Df(0)(t−τ))r(y(τ))dτ . (3.2.6)
Numerische
Mathemtik
∀β ∈]max{Reλ : λ ∈ σ(Df(0))} ,0[: ∃C = C(β) > 0: ‖exp(Df(0)t)‖ ≤ Ce βt ∀t ∈ R .
} {{ }
0. Dazu gibt esǫ > 0:
‖r(y)‖ ≤ |β|
2C
Annahme: ‖y(t)‖ < ǫ für0 < t < δ. Damit für0 ≤ t < δ aus (3.2.6)
Benutze:
‖y(t)‖ ≤ Ce βt ‖y 0 ‖+ |β|
2
∫ t
e |β|t ‖y(t)‖ ≤ C‖y 0 ‖+ |β|
2
0
e β(t−τ) ‖y(τ)‖ dτ ,
Gronwalls Lemma (Lemma 1.3.29) füru(t) := e |β|t ‖y(t)‖
‖y(t)‖ ≤ C‖y 0 ‖exp(− |β|
‖y‖, wenn‖y‖ < ǫ
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
∫ t
e |β|τ ‖y(τ)‖ dτ
0
2 t) ∀0 ≤ t < δ . (3.2.7) 3.2
p. 344