Beispiel - SAM - ETH Zürich

2
1.5
1
exact solution
explicit Euler
implicit Euler
implicit midpoint
40 timesteps on [0,10.000000]
1.5
1
exact solution
explicit Euler
implicit Euler
implicit midpoint
160 timesteps on [0,10.000000]
Numerische
Mathemtik
0.5
0.5
0
y 2
−0.5
y 2
0
−1
−1.5
−0.5
−2
−1
−2.5
−3
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3
y 1
Fig. 46
☞ Implizite Mittelpunktsregel: Perfekte Längenerhaltung !
−1.5
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
y 1
Fig. 47
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R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
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Lemma 1.4.23 (Erhaltung quadratischer erster Integrale durch implizite Mittelpunktsregel).
Falls I : D ⊂ R d ↦→ R, I(y) := 1 2 yT Ay, A ∈ R d,d , erstes Integral (→ Def. 1.2.7) der
autonomen Dgl.ẏ = f(y) mit global differenzierbarer rechter Seitef : D ↦→ R d , dann gilt
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I(y k ) = I(y 0 ) ∀k ∈ Z für y k gemäss (1.4.19)
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1.4
p. 102