Beispiel - SAM - ETH Zürich

N k ∈ C d k,d k sind nilpotente Matrizen: N
d k = 0
Numerische
Mathemtik
Wegen (1.3.15) genügt esexp(J) für einen generischen Jordan-BlockJ ∈ C n,n zu betrachten.
Verwende: A,B ∈ R n,n : AB = BA ⇒ exp(A+B) = exp(A)·exp(B) . (3.2.5)
exp(tJ) = exp(tλI+λN k ) = exp(tλI)exp(tN k ) = e λt exp(tN k ) .
Beachte:
exp(tN) ist ein Polynom in t, wenn N nilpotent (Exponentialreihe bricht nach endlich
vielen Gliedern ab). Also finden wir
exp(At) = Sexp(Dt)P(t)S −1 , D = diag(λ 1 ,...,λ d ) ,
mit einem Matrixpolynom P vom Grad < d, λ 1 ,...,λ d ˆ= Eigenwerte von A (mit Vielfachheit gezählt).
‖exp(At)‖ ≤ ‖S‖
∥
∥S −1∥ ∥ ∥‖exp(Dt)‖·‖Matrixpolynom int‖ ,
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
wobeiDdie Diagonalmatrix der Eigenwerte vonAist. Wegen
∀λ ∈ R: ∀β > λ: ∀p ∈ P n : ∃C = C(λ,β,p): e λt p(t) ≤ Ce βt ∀t ∈ R .
schliessen wir:
‖exp(At)‖ ≤ Ce βt für jedesβ > max{Reσ(A)}.
Beweis. (von Thm.3.2.4) → [8, Satz 3.30], O.B.d.A. y ∗ = 0
3.2
p. 343