Beispiel - SAM - ETH Zürich

Bemerkung 3.4.6 (Invertierbarkeit der Koeffizientenmatrix von RK-ESV).
Numerische
Mathemtik
Für jedes s-stufige Kollokationsverfahren (→ Sect. 2.2.1) mit c s > 0 (.d.h, für jedes Kollokationsverfahren
mit Ausnahme des expliziten Eulerverfahrens (1.4.2)) ist die Koeffizientenmatrix (Butcher-
Matrix) A nichtsingulär
Beweis. Es seix ∈ R s mit Ax = 0
(2.2.3)
⇒
s∑
a ij x j =
j=1
s∑
j=1
mit den Lagrange-PolynomenL i ∈ P s−1 aus (2.2.2).
q :=
s∑
x j L j erfüllt:
j=1
∫ c i
0
∫ c i
x j L j (τ)dτ = 0 , i = 1,...,s ,
c i−1
q(τ)dτ = 0 , i = 1,...,s (c 0 := 0) .
⇒ q ∈ P s−1 hatsNullstellen in[0,c s ] ⇒ q = 0 ⇒ x = 0.
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
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3.4
p. 368