Beispiel - SAM - ETH Zürich

Beweis.
(für den autonomen Fall)
Lineare Invariante I(y) = b T y+c,b ∈ R d ,c ∈ R ➣ gradI(y) = b ∀y ∈ D
Numerische
Mathemtik
(1.2.8) ⇒ b·f(y) = 0 ,
s∑
⇒ b·f(y 0 +h a ij k j ) = b·k i = 0 , i = 1,...,s (für Inkremente) ,
j=1
⇒ I(y 1 ) = b·y 1 +c = b·(y
0 +
s∑ )
b i k i +c = b·y0 +c = I(y 0 ) .
i=1
✷
Beispiel 4.1.3 (Präzession einer Magnetnadel).
y : R ↦→ R 3 = Trajektorie der Spitze einer Magnetnadel (im äusseren Feldh, fixiert in0)
➣ Bewegungsgleichung
⎛
y ⎞
2h 3 −y 3 h 2
ẏ = y×h , Kreuzprodukt y×h = ⎝y 3 h 1 −y 1 h 3
⎠ ⊥y
y 1 h 2 −y 2 h 1
Quadratische Invarianten:
Anfangswert:y 0 = ( 1 2√
2,0,1,
1
2
√
2)
T
∥
∥y (m) (t) ∥ = const , m ∈ N 0
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
4.1
p. 436