Beispiel - SAM - ETH Zürich

Dabei wurde im Sinne der komplexen Fortsetzung wieder ersetzt t ← z. Also gilt für festes w ∈ C
und|z| hinreichend klein
Erzeugende Funktion der Legendre-Polynome
(
z 2 ) −1/2 ∑ ∞
−2wz +1 = P n (w)z n . (2.2.72)
n=0
Numerische
Mathemtik
Faktorisierung vonF w (z): mit
w := 1 2 (ζ +ζ−1 ) , ζ ∈ C\{0} ⇒ z 2 −2wz +1 = (1−zζ)(1−z/ζ) . (2.2.73)
Aus Taylorreihe für(1−z) −1/2 :
(→ Analysis)
(1−z) −1/2 =
∞∑
n=0
a n z n , a n = (2n)! 1·2·····2n
(n!) 2 =
22n (2·4·····2n) 2 > 0 .
Aus dem Multiplikationssatz für Potenzreihen mit Transformation (2.2.73)
⎛
∞∑ n∑
⎝
(
z 2 −2wz +1) −1/2
= (1−zζ) −1/2 (1−z/ζ) −1/2 =
n=0
j=0
⎞
a j a n−j ζ n−2j ⎠z n .
} {{ }
=P n (w)
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.2
p. 200