Beispiel - SAM - ETH Zürich

Beweis auf der Grundlage des Satzes über implizite Funktionen, Thm. 2.2.8, unter Annahme von
hinreichender Glattheit vonf:
Wie im ersten Beweis zu Lemma 2.2.7 Umformulierung der Inkrementgleichungen als parameterabhängiges
Nullstellenproblem:
⎛
∑
f(y 0 +h s
s∑
k i = f(y 0 +h a ij k j ) ⇔ G(h,y 0 ,k) = 0 , G(h,y 0 ,k) := k−
.
⎜
⎝ ∑
f(y 0 +h s
j=1
Wir haben
G ist stetig differenzierbar in allen Argumenten, fallf hinreichend glatt.
G(0,y 0 ,k) = 0 für k = (f(y 0 ),...,f(y 0 )) ∈ R s·d
j=1
j=1
⎞
a 1j k j )
,
⎟
a sj k j )
⎠
Numerische
Mathemtik
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
D k G(0,y 0 ,k) = I für beliebigesk ∈ R s·d ,y 0 ∈ D.
Nach dem Satz über implizite Funktionen gibt es also eine lokal stetig differenzierbare Lösungskurve
k = k(y,h), definiert in einer Umgebung von(0,y 0 ). Daher folgt die Behauptung aus einem Analogon
von Lemma 1.3.3.
✷
2.2
p. 155