Beispiel - SAM - ETH Zürich

Was sagt uns diese Stabilitätsfunktion über die qualitative Asymptotik der diskreten Lösung ?
Diskrete Lösung: y k = S(z) k y 0 , k ∈ N 0 , z := λh .
Numerische
Mathemtik
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|S(z)| < 1 ⇔ lim
k→∞ y k = 0 ∀y 0 ∈ R
⇔ y = 0 asymptotisch stabil (→ Def. 3.2.2) für diskrete Evolution Ψ h λ .
Definition 3.1.4 (Stabilitätsgebiet eines Einschrittverfahrens). [8, Sect. 6.1.2]
Das Stabilitätsgebiet eines ESV für das AWP (3.1.1) auf der Grundlage der diskreten Evolution
Ψ h λ y =: S(z)y,y ∈ C,z := λh,S : D S ⊂ C ↦→ C, ist
S Ψ := {z ∈ D S : |S(z)| < 1} ⊂ C .
R. Hiptmair
rev 35327,
24. Juni
2011
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Für von RK-ESV zu AWP (3.1.1) erzeugte Gitterfunktion {y k } k∈N auf äquidistantem Zeitgitter
mit Maschenweiteh > 0 gilt
y 0 ≠ 0: lim
k→∞ y k = 0 ⇔ lim
k→∞ S(hλ)k = 0 ⇔ hλ ∈ S Ψ . (3.1.5)
3.1
p. 326