Beispiel - SAM - ETH Zürich

Bemerkung 4.4.19 (Einfache symplektische Integratoren).
Die diskreten EvolutionenΨ h : D ⊂ R 2n ↦→ R 2n zur Hamiltonsche ODE (1.2.21)
(ẏ = J −1 gradH(y),H : D ⊂ R d ↦→ R) erzeugt durch
Numerische
Mathemtik
implizite Mittelpunkteregel (1.4.19)
symplektisches Eulerverfahren (2.5.11)
Störmer-Verlet-Verfahren (2.5.13) (→ Bem. 1.4.33, Bsp. 2.5.10) für separierte Hamilton-Funktion
der Form H(y) = T(p)+U(q),y = ( p
q
)
,
sind symplektisch (für hinreichend kleine Schrittweiteh ∈ R).
Nachweise der Symplektizität:
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
für implizite Mittelpunkteregel (1.4.19):
Ψ h y 0 := y 1 = y 0 +hJ −1 gradH( 1 2 (y 0 +y 1 )) . (4.4.20)
Implizites Differenzieren (Annahme:H “hinreichend glatt”):
DΨ h (y 0 ) = I+hJ −1 ∇ 2 H( 1 2 (y 0 +y 1 )) 1 2 (I+DΦh (y 0 )) ,
⇒ DΨ h (
(y 0 ) = I− 1 2 hJ−1 ∇ 2 ) −1 (
H(...) I+ 1 2 hJ−1 ∇ 2 )
H(...)
.
4.4
p. 484