Beispiel - SAM - ETH Zürich

Erinnerung: Formel von Cauchy-Hadamard für den Konvergenzradius einer Potenzreihe [30,
Sect. 4.1.3]
1
R :=
limsup |a n| 1/n ⇒ ∑ ∞ a n z n konvergiert für|z| < R . (2.2.79)
n→∞
n=0
Numerische
Mathemtik
Idee: (2.2.79) liefert asymptotische untere Schranke für|a n |, wennRbekannt !
(Voraussetzung istlimsup
|a n| 1/n = lim
n→∞ n→∞ |a n| 1/n , gegeben z.B. bei Monotonie
von(a n ) n .)
Aus dem Entwicklungssatz von Cauchy schliesst man, siehe [30, Sect. 8.1.5]:
✬
Lemma 2.2.80 (Konvergenzradius von Potenzreihenentwicklungen).
Sei D ⊂ C offen,f : D ↦→ C holomorph und0 ∈ D. Dann hat die Taylorreihe vonf um0den
KonvergenzradiusR = dist(0,∂D).
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R. Hiptmair
rev 35327,
✩25. April
2011
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Zu untersuchen mit Hilfe von Lemma 2.2.80: Konvergenzradius der Taylorreihe um 0 der erzeugenden
Funktion (2.2.72), also f(z) = (z 2 − 2wz + 1) −1/2 , der Legendre-Polynome aus
(2.2.72).
2.2
p. 206