Beispiel - SAM - ETH Zürich

k∑
i=1
L i (0)h j i = ⎧
⎪⎨
⎪ ⎩
1 fürj = 0 ,
0 für1 ≤ j ≤ k −1 ,
(−1) k−1 h 1·····h k fürj = k .
(2.4.9)
Numerische
Mathemtik
Nachweis von (2.4.9): für0 ≤ j ≤ k−1 stimmtr j (t) := ∑ k
i=1 h j i L i(t) ∈ P k−1 mitt ↦→ t j überein.
Fürj = k hatt k −r k (t) ∈ P k die Nullstellenh i ,i = 1,...,k und führenden Koeffizienten1:
t k −r k (t) = (t−h 1 )·····(t−h k ) .
Damit folgt (2.4.9).
T k,k = q(0) =
=
k∑
L i (0)T i,1 =
i=1
k∑ k∑
α j h j i L i(0)+
j=0
i=1
k∑
L i (0)
i=1
k∑
i=1
⎛
⎝
k∑
j=0
L i (0)R k (h i )h k+1
i
(2.4.9)
= α 0 +α k ·(−1) k−1 h 1·····h k +
k∑
i=1
α j h j i +R k(h i )h k+1
i
L i (0)R k (h i )h k+1
i
.
Also gilt die Behauptung mit C := max |L i(0)|. Beachte, dass L i (0) nur von den Verhältnissen
i=1,...,l
h i : h j abhängt, siehe Bem. 2.4.4.
✷
⎞
⎠
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.4
p. 258