Beispiel - SAM - ETH Zürich

Ein einfaches Kriterium für lokale Lipschitz-Stetigkeit (Beweis über Mittelwertsatz):
Numerische
Mathemtik
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Lemma 1.3.3 (Kriterium für lokale Lipschitz-Stetigkeit).
Sindf undD y f stetig aufΩ, so istf lokal Lipschitz-stetig (→ Def. 1.3.2).
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Theorem 1.3.4 (Satz von Peano & Picard-Lindelöf).
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[1, Satz II(7.6)]
Falls f : ˆΩ ↦→ R d lokal Lipschitz-stetig in der Variablen y (→ Def. 1.3.2), so hat das AWP
(1.1.13) für beliebige Anfangsbedingungen (t 0 ,y 0 ) ∈ Ω eine eindeutige maximal fortgesetzte
(→ Def. 1.3.1) Lösungy : J(t 0 ,y 0 ) ↦→ D.
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R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
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Beweisidee:
(→ [32, I.§6], [3, Sekt. 11.6]) Integration von (1.1.13) liefert
∫ t
y(t) = y 0 +
t 0
f(s,y(s)) ds, t ≥ t 0 . (1.3.5)
1.3
p. 47