Beispiel - SAM - ETH Zürich

(D y˜Φ h )(y 0 )−(D y Ψ h )(y 0 ) = −(D y ∆f l+1 )(y)h l+2 +O(h l+3 ) . (4.4.90)
Numerische
Mathemtik
˜Φ h ,Ψ h = symplektische Abbildungen (→ Def. 4.4.12, Argumenty 0 weggelassen)
⇒
(D y˜Φ h ) T JD y˜Φ h
} {{ }
=J
= (D y Ψ h ) T JD y Ψ h
} {{ }
=J
+h l+2( (D y Ψ h ) T JD y ∆f l+1 +(D y ∆f l+1 ) T JD y Ψ h) +O(h l+3 ) .
⇒ 0 = (D y Ψ h ) T JD y ∆f l+1 +(D y ∆f l+1 ) T JD y Ψ h +O(h) .
Für konsistentes ESV, siehe Lemma 2.1.9: D y Ψ h = I+O(h) fürh → 0.
h→0
⇒ 0 = JD y ∆f l+1 +(D y ∆f l+1 ) T J ⇒ D y (J∆f l+1 ) = (D y (J∆f l+1 )) T .
Anwendung von Lemma 4.4.17 (Integrabilitätslemma) aufJ∆f l+1 .
✷
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Symplektische Integratoren liefern strukturerhaltende akzeptable(∗) diskrete Evolutionen für
(glatte) konservative mechanische Systeme.
(∗): (exponentiell genaue) Lösung einer Evolution mit “leicht gestörter” (nämlichO(h p ), siehe Lemma
4.4.83) Hamilton-Funktion ➢ Rückwärtsanalyse → Sect. 4.4.3
4.4
p. 551