Beispiel - SAM - ETH Zürich

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Lemma 2.1.20 (Diskretes Gronwall-Lemma, siehe Lemma 1.3.29).
Erfüllt die Folge(ξ k ) k∈N0 ,ξ k ≥ 0, die Differenzenungleichung
so gilt
✫
ξ k+1 ≤ Ch p+1
k
+(1+Lh k )ξ k , k ∈ N 0 , L,C,h k ≥ 0 , (2.1.21)
ξ N ≤ C ( )1
max
k=0,...,N−1 hp k L
⎛
⎝exp ( L
N−1 ∑
k=0
⎞
)
h k −1 ⎠+exp ( N−1 ∑
L
k=0
h k
)·ξ0 , N ∈ N 0 .
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Numerische
Mathemtik
Beweis. (durch Induktion nachN)
Mit der Konvention, dass leere Summen verschwinden, gilt die Behauptung fürN = 0 (Induktionsbeginn)
Induktionsschluss:
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
(2.1.21)
ξ N+1 ≤ Ch p+1
N +(1+Lh N)ξ N
∗
≤ Ch p+1
N +(1+Lh N)
⎛
⎝C ( N−1
max
k=0 hp k
)1
L
⎛
⎝exp ( L
N−1 ∑
k=0
⎞
)
h k −1 ⎠+exp ( N−1 ∑
L
k=0
h k
)
ξ0
⎞
⎠
2.1
p. 133