Beispiel - SAM - ETH Zürich

≤ C ( N max
k=0 hp k
⎛
)
⎝h N + 1 (
exp ( L
L
N∑ ) ) ⎞
h k −1−LhN ⎠+exp ( L
k=0
Das ist die Behauptung des Lemmas fürN +1.
N∑ )
h k ξ0
k=0
Numerische
Mathemtik
∗: Benutzt die Induktionsannahme, d.h., die Behauptung des Lemmas fürξ N .
Benutzt die elementare Abschätzung1+x ≤ exp(x),x ∈ R (Konvexität der Exponentialfunktion).
Beweis von Thm. 2.1.19; Verallgeminerung des Beweises der algebraischen Konvergenz des expliziten
Eulerverfahrens aus Abschnitt 1.4.1. Das vorbereitende Studium jenes Beweises wird empfohlen.
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
➀ Kompakte Umgebung der Lösungstrajektoriet ↦→ y(t) zum Anfangswerty 0 :
K δ := {(t,y) ∈ I ×R d : t 0 ≤ t ≤ T, ‖y−y(t)‖ ≤ δ} , δ > 0 .
Für hinreichend kleinesδ > 0:
K δ ⊂ Ω
Infolge der lokalen Lipschitz-Bedingung anψ und der lokalen Konsistenzfehlerabschätzung (2.1.18)
2.1
p. 134