Beispiel - SAM - ETH Zürich

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Theorem 2.4.11 (Asymptotische Entwicklung des Diskretisierungsfehlers von ESV).
Es existieren ein K ∈ N (abhängig von der Glattheit von f) und glatte Funktionen e i :
J(t 0 ,y 0 ) ↦→ R d , i = p,p+1,...,p+K, mit e i (0) = 0 und (für hinreichend kleine h) gleichmässig
beschränkte Funktionen(T,h) ↦→ r k+p+1 (T,h),0 ≤ k ≤ K, so dass
Dabei gilt
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y N −y(T) =
k∑
e l+p (T)h l+p +r k+p+1 (T,h)h k+p+1 für kleinesh .
l=0
∥
∥r k+p+1 (T,h) ∥ = O(T −t 0 ) fürT −t 0 → 0 gleichmässig inh < T ,
‖e(T)‖ = O(T −t 0 ) fürT −t 0 → 0.
Beweis. Annahme: f,y(t) „hinreichend” glatt
Numerische
Mathemtik
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R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
Weiter nehmen wir globale Lipschitz-Stretigkeit der Inkrementfunktionψ des ESV aus (2.4.10) an:
∃L > 0: ‖ψ(t,z,h)−ψ(t,w,h)‖ ≤ L‖z−w‖ gleichmässig int 0 ≤ t ≤ T, h . (2.4.12)
(Kompaktheitsargumente, vgl. Beweis von Thm. 2.1.19, machen Verzicht auf diese Annahme möglich.)
Konsequenz der Konsistenzordnung p (→ Def. 2.1.13) und Glattheit von f: für Konsistenzfehler (→
2.4
p. 260