Beispiel - SAM - ETH Zürich

4.5 Methoden für oszillatorische Differentialgleichungen [23]
Numerische
Mathemtik
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Prototyp: ÿ = −ω 2 y , y(0) = y 0 , ẏ(0) = v 0
y(t) = αcos(ωt)+βsin(ωt) , α,β ∈ R
Verallgemeinerung (skalar): ÿ = −ω 2 y +g(y) , y(0) = y 0 , ẏ(0) = v 0 , (4.5.1)
mit Lipschitz-stetiger Störungg : R ↦→ R.
Verallgemeinerung (vektoriell) ÿ = −Ay+g(y) , y(0) = y 0 , ẏ(0) = v 0 , (4.5.2)
Bemerkung 4.5.3.
(4.5.1)
A ∈ R d,d symmetrisch positiv definit,
v:=ẏ
⇐⇒
)
d y
dt(
v
Lösung von (4.5.4) durch Variation der Konstanten:
=
( ) 0 1 y
−ω 0)( 2 v
+
g : R d ↦→ R d
( ) 0
g(y)
. (4.5.4)
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
( ) y(t)
v(t)
=
(
costω ω −1 )( )
sintω y0
+
−ωsintω costω v 0
∫t
0
(
ω −1 )
sin(t−s)ω
cos(t−s)ω
g(y(s))ds (4.5.5)
△
4.5
p. 556