Beispiel - SAM - ETH Zürich

➣
Einschrittfehlerfunktion löst das Anfangswertproblem
ė = Df(y(t))e−ρ(t)−δ(t) , e(0) = 0 . (2.2.56)
Numerische
Mathemtik
Betrachtet man ρ(t),δ(t) als blosse Funktionen von t, dann ist (2.2.56) eine nichtautonome lineare
Differentialgleichung.
➣ Lösung durch allgemeine Variation-der-Konstanten-Formel (1.3.18):
∫ t
e(t) = −
0
W(t;y 0 )W(τ;y 0 ) −1 (ρ(τ)+δ(τ))dτ , 0 ≤ t ≤ h .
mit der Propagationsmatrixt ↦→ W(t;y 0 ), vgl. (1.3.33), Sect. 1.3.3.4. Sie löst das Anfangswertproblem
für die Variationsgleichung (1.3.34)
Ẇ(t;y 0 ) = Df(y(t))W(t;y 0 ) , W(0;y 0 ) = I .
Die Propagationsmatrix ist natürlich unabhängig vonh, also
∥
∃C > 0 unabhängig vonh: ∥W(t;y 0 )W(τ;y 0 ) −1∥ ∥ ≤ C ∀0 ≤ t,τ ≤ h .
∫
(2.2.55)
t
⇒
∥ W(t;y 0 )W(τ;y 0 ) −1 ρ(τ)dτ
∥ ≤ Ch2s+3 ,
mitC > 0 unabhängig vonh.
Beachte: (2.2.40) ➣ Konsistenzfehler bestimmt durche(h) !
0
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.2
p. 183