Beispiel - SAM - ETH Zürich

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Theorem 4.4.88 (Symplektizität der Modifikatorfunktionen).
Sei Ψ h die diskrete Evolution eines symplektischen Einschrittverfahrens (→ Def. 4.4.18) für
die Hamiltonsche Differentialgleichung ẏ = J −1 · gradH(y) mit glatter Hamilton-Funktion
H : D ⊂ R 2n ↦→ R,D sternförmig.
Dann sind die abgeschnittenen modifizierten Gleichungen ˙ỹ =˜f h,l (ỹ) aus Lemma 4.4.61 ebenfalls
Hamiltonsch für allel ∈ N und alle (hinreichend kleinen)h > 0.
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Numerische
Mathemtik
Beweis. (von Thm. 4.4.88)
Idee: Induktion nachl
Induktionsbeginn: Fürl ≤ p: ˜f h,l (y) = f(y) = J −1·gradH(y) ✔
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
“l → l+1”: ˜Φ t ˆ= Evolutionsoperator zu ˙ỹ =˜f h,l (ỹ) = J −1 grad ˜H l (y) (Induktionsannahme !)
⇒ Für festest: ˜Φ t : D ↦→ R 2n is symplektisch (→ Def. 4.4.12)
Nach (4.4.52) & (4.4.54), Lemma 4.4.61 fürh → 0
˜Φ h y 0 −Ψ h y 0 = −∆f l+1 (y 0 )h l+2 +O(h l+3 ) ∀y 0 . (4.4.89)
4.4
p. 550