Beispiel - SAM - ETH Zürich

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Lemma 2.2.74 (Obere Schranke für Legendre-Polynome).
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Es gilt |P n (t)| ≤ 1 für alle−1 ≤ t ≤ 1.
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Numerische
Mathemtik
Beweis. Wir verwenden die Darstellung des n. Legendre-Polynoms aus der Reihenentwicklung der
erzeugenden Funktion: mit der Joukowski-TransformationT(ζ) = 1 2 (ζ +ζ−1 ) haben wir
Beachte:
P n (T(ζ)) =
1
2 (eiϕ +e −iϕ ) = cosϕ =: t
n∑
a j a n−j ζ n−2j , |ζ| ≥ 1 . (2.2.75)
j=0
⇒ Für T(ζ) :=
2 1(ζ +ζ−1 ) gilt: T({|z| = 1}) = [−1,1] .
⇒ |P n (t)| (2.2.75)
n∑
a j >0 n∑
=
a j a n−j exp(i(n−2j)ϕ)
≤ a j a n−j = P n (1) = 1 ,
∣
∣
j=0
für einϕ ∈ [0,2π] so, dassT(exp(iϕ)) = t ∈ [−1,1].
j=0
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.2
p. 201