Beispiel - SAM - ETH Zürich

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Lemma 2.2.31 (Lipschitz-Stetigkeit der Inkrementfunktion von Projektions-Einschrittverfahren).
Erfüllt f eine lokale Lipschitz-Bedingung (→ Def. 1.3.2), dann existiert zu jedem (t,y) ∈ Ω ein
h 0 so, dass, für|h| < h 0 ,
Numerische
Mathemtik
Ψ t,t+h y = y+hψ(t,y,h) ,
mit einer in der Zustandsvariariableny lokal Lipschitz-stetigen (→ Def. 1.3.2) Inkrementfunktion
ψ (→ Lemma 2.1.9).
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Beweis. Unter Berufung auf Kompaktheitsargumente, vgl. Beweis von Thm. 2.1.19, o.B.d.A. Annahme
einer globalen Lipschitz-Bedingung
∃L > 0: ‖f(τ,z)−f(τ,w)‖ ≤ L‖z−w‖ ∀z,w ∈ D, t ≤ τ ≤ t+h .
Wie im Beweis von Lemma 2.2.27: sind y h ,z h ∈ (C 0 ([t,t + h])) d Lösungen von (2.2.26) zu „Anfangswerten”y
0 ,z 0 ∈ D, dann
|h| <
1
hL‖P‖ ⇒ ‖y h −z h ‖ ∞ ≤
Garantiert Existenz von Lösungen von (2.2.26)
∫ t+h
1
1−hL‖P‖ ‖y 0−z 0 ‖ . (2.2.32)
(2.2.26) ⇒ Ψ t,t+h y 0 = y 0 + P(f(·,y h (·)))(ξ)dξ =: y 0 +hψ(t,y 0 ,h) .
t
} {{ }
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
2.2
p. 170