Beispiel - SAM - ETH Zürich

Beweis (von Thm. 4.4.15)
Numerische
Mathemtik
“⇐”: Siehe Thm. 4.4.11
“⇒”: PropagationsmatrixW(t;y) := ( d
dy Φt )(y) löst Variationsgleichung (1.3.34)
Ẇ(t;y) = Df(Φ t y)W(t;y) , W(0;y) = I , y ∈ D , t ∈ J(y) .
t fixiert, hinreichend klein: y ↦→ Φ t y ist symplektische Abbildung (→ Def. 4.4.12)
W(t;y) T JW(t;y) = J =⇒ t frei d (
W(t;y) T )
JW(t;y) = 0 .
dt
Mit Produktregel:
0 = d dt
(
W(t;y) T )
JW(t;y)
= Ẇ(t;y)T JW(t;y)+W(t;y) T JẆ(t;y)
R. Hiptmair
rev 35327,
25. April
2011
= (Df(Φ t y)) T JW(t;y)+W(t;y) T J(Df(Φ t y)) ∀y ∈ D, |t| klein.
Setzet = 0, benutzeJ −T = −J −1 = J
⇒ JDf(y) = (JDf(y)) T ∀y ∈ D
Wegen JDf(y) = D(Jf)(y) Anwendung der Integrabilitätslemmas 4.4.17. ✷
4.4
p. 482